domingo, 22 de abril de 2012
Pronto volveré a ti
Atiendo el teléfono y La Voz me dice: Tenemos secuestrada a tu mujer, si quieres verla viva te costará €10.000. Corta. Fumo cinco cigarros, vuelve a llamar. La Voz: Estás ahí cabrón, tenemos a tu mujer, ahora te dejo con ella: Mi amor, haz lo que te dicen, te amo mi amor, ¡Ho no! No me toques maldito hijo de la gran chingada, por favor amor paga esa mierda y pronto volveré a ti. Vende esa puta primera edición de Borges que no te sirve de nada, están dispuestos a todo, te amo. Gritos difusos. Corta. Deambulo por la habitación. Fumo quince cigarros. Me tomo cuatro cubatas. Suena nuevamente el teléfono. El secuestrador me dice: transfiere los €10.000 a esta cuenta pinche cabrón. Me da el número de la cuenta. Me tomo otras dos cubatas y me voy a la cama.
...Inmaculada decepciónsábado, 14 de abril de 2012
martes, 3 de abril de 2012
Historia de los números perfectos
No se sabe cuándo se estudiaron por primera vez los números perfectos y quizá esos primeros estudios nos pudieran llevar a los tiempos en los que los números comenzaron a despertar la curiosidad del hombre.
Parece bastante acertado pensar, aunque no podamos asegurarlo, que los egipcios analizaron aquellos números que habrían obtenido mediante sus primitivos métodos de cálculo, ver por ejemplo [17] donde se da una justificación a esta aproximación. Los números perfectos fueron estudiados por Pitágoras y sus seguidores más por sus propiedades místicas que por sus propias propiedades teóricas. Antes de echar un vistazo a la historia del estudio de los números perfectos tenemos que definir los conceptos involucrados.
Hoy en día la definición común de números perfectos se hace en términos de sus divisores, pero la definición original estaba hecha en términos de 'partes divisibles' de un número.
Una parte divisible de un número es un cociente propio del número. Por ejemplo las partes divisibles de 10 son 1, 2 y 5. Esto es así si vemos que 1 = 10/10, 2 = 10/5, y 5 = 10/2. Destaquemos que 10 no es una parte divisible de 10 porque no es un cociente exacto, i.e. un cociente diferente del propio número. Un número perfecto viene definido como el que es igual a la suma de sus partes divisibles.
Los cuatro números perfectos 6, 28, 496 y 8128 parecen haber sido conocidos desde los tiempos más antiguos a pesar de que no existe ninguna prueba de estos descubrimientos.
6 = 1 + 2 + 3,
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064
Los primeros conocimientos matemáticos de los que se tiene información concerniente a los números perfectos aparecen en los Elementos de Euclides escritos alrededor del año 300 a. de C. Sorprenderá a mucha gente descubrir que hay teoría de números en los Elementos de Euclides que siempre se ha tomado como un libro de geometría. Sin embargo, aunque los números están representados por segmentos de líneas y tienen una apariencia geométrica, existe teoría de números significativa en los Elementos. Aparece en la proposición 36 del libro IX de los Elementos que dice:
Si colocamos los números que queramos comenzando desde una unidad en proporción doble de forma continuada, hasta que su suma se convierta en un primo, y si esa suma es multiplicada por el número final, el producto será perfecto.
Aquí 'proporción doble' significa que cada número de la secuencia es dos veces el número precedente. Para ilustrar esta Proposición considera 1 + 2 + 4 = 7 que es primo. Entonces
(la suma) × (el último) = 7 × 4 = 28,
Que es un número perfecto. Tomemos 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 como segundo ejemplo que también es primo. Entonces 31 × 16 = 496 que es un número perfecto.
Ahora Euclides nos proporciona una prueba rigurosa de la Proposición y tenemos el primer resultado significativo de números perfectos. Podemos definir la Proposición de una fórmula ligeramente más moderna usando el hecho, conocido por los Pitagóricos, de que
1 + 2 + 4 + ... + 2k-1 = 2k - 1.
La Proposición se lee ahora:
Si, para algún k > 1, 2k - 1 es primo entonces 2k-1 (2k - 1) es un número perfecto.
El siguiente estudio importante de los números perfectos procede de Nicómaco de Gerasa alrededor del año 100 d. C. Nicómaco escribió su famoso texto Introductio Arithmetica que proporciona la clasificación de los números basada en el concepto de los números perfectos. Nicómaco divide los números en tres clases, los números superabundantes, que poseen la propiedad de que la suma de sus partes divisibles es mayor que el propio número; los números deficientes, que tienen la propiedad de que la suma de sus partes divisibles es menor que el número; y los perfectos, que tienen la propiedad de que la suma de sus partes divisibles es igual al número (ver [8] o [1] para una traducción distinta):
Entre los simples números pares, algunos son superabundantes otros son deficientes: estas dos clases son los extremos opuestos la una de la otra, y para los que ocupan la posición media entre las dos, se les llama perfectos. Y a los que son opuestos el uno al otro, los superabundantes y los deficientes, se dividen en sus condiciones, que es la desigualdad, entre demasiado grande y demasiado pequeño.
Sin embargo Nicómaco tiene más que una teoría de números en mente porque muestra a continuación que piensa en términos morales en una forma que nos suena extraordinaria a los matemáticos de hoy en día. (ver [8] o [1] para una traducción diferente):
En el caso de los 'demasiado grandes', se producen excesos, superfluidez, exageraciones y abuso; en el caso de los demasiado pequeños se produce deseo, deficiencias, privaciones e insuficiencias. Y en el caso de los que se encuentran entre los 'demasiado grandes' y 'demasiado pequeños', que es la igualdad, se produce virtud, mesura, decoro, belleza y cosas de ese estilo - de las que el mejor ejemplo es el tipo de números denominados perfectos.
Satisfecho con las consideraciones morales de los números, Nicómaco pasa a proporcionar analogías biológicas en las que describe los números superabundantes como un animal con (ver [8] o [1]):
... diez bocas, o nueve labios y tres líneas de dientes; o con cien brazos, o teniendo demasiados dedos en una de sus manos.
Los números deficientes son comparados con animales con:
un único ojo,… con un solo brazo o con manos con menos de cinco dedos, o acaso sin lengua.
Nicómaco continua describiendo ciertos resultados que involucran los números
perfectos. Todos ellos se proporcionan sin ninguna prueba. Veámoslos en notación actual.
(1) El enésimo número perfecto posee n dígitos.
(2) Todos los números perfectos son pares.
(3) Todos los números perfectos terminan de forma alternativa en 6 y en 8.
(4) El algoritmo de Euclides1 para generar números perfectos proporcionará todos ellos. i.e. cada número perfecto es de la forma 2k-1(2k - 1), para algunos k > 1, donde 2k - 1 es primo.
(5) Hay infinitos números perfectos.
Veremos ahora como esas aserciones han soportado el paso del tiempo mientras seguimos con nuestro estudio, pero por el momento digamos que las aserciones (1) y (3) son falsas, mientras que el resto todavía son preguntas abiertas. Sin embargo desde la época de Nicómaco sabemos mucho más sobre sus cinco aserciones que la definición simplista que acabamos de hacer. Veamos con más detalle la descripción de Nicómaco del algoritmo para generar números perfectos, su aserción (4) (ver [8] o [1]):-
Existe un método elegante y seguro para generar estos números, que no deja afuera ninguno de los números perfectos y no incluye los que no lo son; y que se hace la forma siguiente. Primero se colocan en orden las potencias de dos en una línea, comenzando desde la unidad hasta el número que se desee: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096; y entonces se suman cada vez que haya un nuevo término, y en cada suma se examina el resultado; si encuentras que es primo y no compuesto, debes multiplicarlo por la cantidad del último término que añadiste a la lista, y el producto siempre será perfecto. Si, de algún modo, es compuesto y no primo, no lo multipliques, sino que debes añadirlo al siguiente término, y de nuevo examinar el resultado, si es compuesto déjalo de lado, sin multiplicarlo, y súmalo al término siguiente. Si, por otra parte, es primo, y no compuesto, debes multiplicarlo por el último término tomado de su composición, y el número resultante será perfecto, y así hasta el infinito.
Como vemos, este algoritmo es precisamente el que nos daba Euclides en los Elementos. Sin embargo, es probable que este método de generar números perfectos sea parte de una tradición matemática manejada con anterioridad a Euclides y continuada hasta que Nicómaco escribió su tratado. Si las cinco aserciones de Nicómaco se basaron en algo más que en el algoritmo y el hecho de que sólo conociera cuatro números perfectos 6, 28, 496 y 8128, es imposible de decir, pero parece improbable que haya algo más detrás de las aserciones sin demostrar. Algunas de ellas se hicieron en esta cita sobre los números perfectos que sigue a la descripción del algoritmo [1]:
... sólo uno se encuentra entre las unidades, 6, sólo uno entre las decenas, 28, y un tercero en el rango de las centenas, 496 sólo, y un cuarto dentro de los límites de los millares, que está por debajo de diez mil, 8128. Y es su característica específica de terminar alternativamente en 6 u 8, y siempre ser pares.
Cuando estos han sido descubiertos, 6 entre las unidades y 28 entre las decenas, debes hacer lo mismo para localizar al siguiente. ... el resultado es 496, en las centenas; y a continuación viene 8128 en los millares, y así sigue, mientras sea necesario seguir.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095 8191
Llamémosles radicales de números perfectos, ya que cuando no son primos, los producen. Coloca encima estos números en su progresión natural 1, 2, 3, 4, 5, etc., llamados sus exponentes. Tras hacerlo, yo digo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095 8191
Llamémosles radicales de números perfectos, ya que cuando no son primos, los producen. Coloca encima estos números en su progresión natural 1, 2, 3, 4, 5, etc., llamados sus exponentes. Tras hacerlo, yo digo
1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095 8191
Llamémosles radicales de números perfectos, ya que cuando no son primos, los producen. Coloca encima estos números en su progresión natural 1, 2, 3, 4, 5, etc., llamados sus exponentes. Tras hacerlo, yo digo
Llamémosles radicales de números perfectos, ya que cuando no son primos, los producen. Coloca encima estos números en su progresión natural 1, 2, 3, 4, 5, etc., llamados sus exponentes. Tras hacerlo, yo digo
Cuando el exponente de un número radical es compuesto, su radical es también compuesto. El 6, el exponente de 63, es compuesto, así que digo que el 63 será compuesto.
Cuando el exponente es un número primo, afirmo que su radical menos uno es divisible por dos veces el exponente. El 7, el exponente de 127, es primo, así que digo que 126 es múltiplo de 14.
Cuando el exponente es un número primo, afirmo que su radical no puede dividirse por ningún otro número primo excepto por aquellos que sean mayores por uno que un múltiplo que doble el exponente…
Aquí están tres hermosas proposiciones que he encontrado y demostrado sin dificultad, las llamaré los fundamentos de la invención de los números perfectos. No dudo que Frenicle de Bessy llegara allí antes, pero acabo de empezar y sin duda estas proposiciones pasarán como algo encantador en las mentes de aquellos que no se hayan vuelto lo suficientemente hipocríticos en estos asuntos, y estaría muy feliz si consiguiera la opinión de M Roberval.
Si n es compuesto, entonces 2n - 1 es compuesto.
Si n es primo, entonces 2n - 2 es múltiplo de 2n.
Si n es primo y p es un divisor primo de 2n- 1, entonces p - 1 es múltiplo de n.
A pesar del hecho de que Nicómaco no ofreció ninguna justificación a sus aserciones, fueron tomadas por reales durante muchos años. Por supuesto habría una significación religiosa que todavía no hemos mencionado, ya que seis es el número de días que utilizó Dios para crear el mundo, y se creía que ese número fue escogido por Él porque era perfecto. Dios eligió también el siguiente número perfecto, el 28, como el número de días que tarda la luna en dar una vuelta a la Tierra. San Agustín (354 - 430), escribe en su famoso texto La ciudad de Dios:
Seis es un número perfecto en sí mismo, y no porque Dios creara todas las cosas en seis días; lo que parece cierto. Dios creó todas las cosas en seis días porque el número es perfecto…
Los matemáticos árabes estaban también fascinados por los números perfectos y Thabit ibn Qurra escribió su tratado de los números amigables en el cual examinaba cuándo los números de la forma 2np, dónde p es primo, pueden ser perfectos. Ibn al-Haytham demostró una conversión parcial a la proposición euclidiana en el trabajo sin publicar Tratado sobre el análisis y la síntesis en el que mostró que los números perfectos que satisficieran ciertas condiciones tenían que ser de la forma 2k-1(2k - 1) donde 2k - 1 es primo.
Entre los muchos matemáticos árabes que siguieron las investigaciones griegas de los números perfectos con entusiasmo estaba Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus (1194-1239) que escribió un tratado basado en laIntroducción a la aritmética de Nicómaco. Aceptaba la clasificación de números de Nicómaco, pero su trabajo es puramente matemático y no contiene los comentarios morales de su predecesor. Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus dio, en su tratado, una tabla de diez números que se suponían perfectos, los primeros siete son correctos y de hecho constituyen los siete primeros números perfectos, los tres restantes son incorrectos. Para más detalles de su impresionante trabajo ver [6] y [7].
Al comienzo del renacimiento de las matemáticas en Europa alrededor del año 1500, las aserciones de Nicómaco fueron tomadas como ciertas, no se consideraron más trabajos posteriores, ni siquiera los de los árabes. Algunos incluso creyeron los injustificados e incorrectos resultados de que 2k-1(2k - 1) es un número perfecto para cada impar k. Pacioli parece haber creído firmemente en esta falacia. Charles de Bovelles, filósofo y teólogo, publicó un libro sobre los números perfectos en 1509. En él decía que la fórmula euclidiana 2k-1(2k - 1) proporcionaba un número perfecto para todos los enteros impares k, ver [10]. Bastante importante, aunque no se habían hecho demasiados progresos.
El quinto número perfecto había sido descubierto de nuevo (tras los desconocidos trabajos árabes) y aparecía en un manuscrito datado en 1461. También aparece en un manuscrito escrito por Regiomontanus durante su estancia en la universidad de Viena, que abandonó en 1461, ver [14]. Asimismo se encontró en un manuscrito escrito alrededor de 1458, mientras que los números perfectos quinto y sexto se encontraron en otro manuscrito escrito probablemente por el mismo autor poco después de 1460. Todo lo que sabemos de él es que vivió en Florencia y fue un discípulo de Domenico d'Agostino Vaiaio.
En 1536, Hudalrichus Regius rompió la primera barrera para aumentar el conocimiento común a los matemáticos que le seguirían. Sucedió cuando publicó Utriusque Arithmetices en el que daba la factorización 211 - 1 = 2047 = 23 × 89. Con esto había encontrado el primer número primo p tal que 2p-1(2p - 1) y no era un número perfecto. También demostró que 213 - 1 = 8191 es primo, por lo tanto descubrió (y lo demostró) el quinto número perfecto 212(213 - 1) = 33550336. Esto demostró que la quinta aserción de Nicómaco era falsa ya que el quinto número perfecto tenía 8 dígitos. Sin embargo se mantenía la aserción de que los números perfectos terminaban alternativamente en 6 o en 8. Es sorprendente que Regius, que debe haber pensado que había roto una importante barrera matemática, es hoy en día virtualmente desconocido.
J Scheybl obtuvo el sexto número perfecto en 1555 en su comentario a la traducción de los Elementos deEuclides. No fue hasta 1977 que se conoció este hecho por lo que no tuvo ninguna influencia en el progreso para descubrir los números perfectos.
El siguiente paso adelante llegó en 1603 cuando Cataldi descubrió los factores de todos los números hasta 800 y una tabla de todos los números primos hasta 750 (hay 132). Cataldi usó su lista de primos para demostrar que 217- 1 = 131071 es primo (ya que 7502 = 562500 > 131071, pudo comprobar con un tedioso cálculo que 131071 no tenía divisores primos). A partir de ahí, Cataldi ahora conocía el sexto número perfecto: 216(217 - 1) = 8589869056. Este resultado de Cataldi demostró que la aserción de Nicómaco de que los números perfectos acababan alternativamente en 6 y en 8 era falsa ya que el quinto y el sexto número perfecto acababan ambos en 6. Cataldi usó también su lista de números primos para comprobar que 219 - 1 = 524287 era primo (de nuevo ya que 7502 = 562500 > 524287) y de este modo encontró el séptimo número perfecto: 218(219 - 1) = 137438691328.
Como el lector habrá ya notado, la historia de los números perfectos está plagada de errores y Cataldi, a pesar de haber descubierto dos números perfectos, también cometió errores. Escribió en Utriusque Arithmetices que los exponentes p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 daban números perfectos 2p-1(2p - 1). Tenía razón para p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 para los que tenía una prueba en su tabla de números primos, pero sólo una de sus cuatro siguientes aserciones 23, 29, 31, 37 es correcta.
Muchos matemáticos estuvieron interesados en los números perfectos e intentaron contribuir a la teoría. Por ejemplo Descartes, en una carta a Mersenne en 1638, escribió [8]:
... Creo que soy capaz de demostrar que no hay números pares perfectos aparte de los que descubrióEuclides; y que no hay números perfectos impares a menos que estén formados por un único número primo, multiplicado por el cuadrado cuya raíz esté compuesta de otro número primo. Pero no puedo ver nada que impida encontrar números de ese tipo. Por ejemplo, si 22021 fuera primo, al multiplicarlo por 9018009, que es el cuadrado cuya raíz se compone de los números primos 3, 7, 11, 13, encontraríamos 198585576189, que sería un número perfecto. Pero sea cual fuere el método empleado, llevaría un gran esfuerzo buscar estos números…
La siguiente gran contribución fue hecha por Fermat. Le contó a Roberval en 1636 que estaba trabajando en el tema, y aunque tenía muchos problemas, tenía la intención de publicar un tratado. Éste nunca se publicó, en parte porque Fermat nunca consiguió terminar sus resultados, pero también porque no consiguió los resultados que había deseado. En junio de 1640, Fermat escribió a Mersenne contándole sus descubrimientos en relación a los números perfectos. Escribía:
... aquí hay tres proposiciones que he descubierto, sobre las que espero construir una enorme estructura. Los números mayores en uno que en la doble progresión, tales o
Tras escribir esta carta a Mersenne, Fermat escribió a Frenicle de Bessy el 18 de octubre de 1640. En esta carta daba una generalización de resultados de la carta anterior enunciando lo que ahora se conoce como el Pequeño Teorema de Fermat que demuestra que para cualquier primo p y un integral a no divisible por p,ap-1- 1, es divisible por p. Fermat encontró su Pequeño Teorema como consecuencia directa de sus investigaciones en el campo de los números perfectos.
Utilizando casos especiales de su Pequeño Teorema, Fermat fue capaz de refutar dos de las afirmaciones de Cataldi en su carta de junio de 1640 a Mersenne. Demostró que 223-1 era compuesto (de hecho 223 - 1 = 47 × 178481) y que 237 - 1 era compuesto (de hecho 237 - 1 = 223 × 616318177). Frenicle de Bessy había, aquel mismo año, preguntado a Fermat (en correspondencia a través de Mersenne) si existía un número perfecto entre 1020 y 1022. De hecho, suponiendo que los números perfectos tienen la forma 2p-1(2p - 1) donde p es primo, la pregunta se convierte en averiguar si 237 - 1 es primo. Fermat no sólo afirma que 237 - 1 es compuesto en su carta de junio de 1640 sino que cuenta a Mersenne cómo lo ha factorizado.
Fermat usó tres teoremas:
Vemos que (i) es trivial pero (ii) y (iii) son casos especiales del Pequeño Teorema de Fermat. Fermat procedió como sigue: si p es un divisor primo de 237 - 1, entonces 37 divide a p - 1. Como p es impar, entonces es un primo de la forma 2 × 37m+1, para algún m. El primer caso que probamos es p = 149 y fracasaremos (lo comprobamos con una división). El siguiente caso a probar es 223 (el caso m = 3) en el que tendremos éxito y 237 - 1 = 223 × 616318177.
Mersenne estaba muy interesado en los resultados que Fermat le envió sobre los números perfectos y muy pronto realizó una afirmación propia que fascinaría a los matemáticos durante muchos años. En 1644 publicó Cogitata physica mathematica en el que afirmaba que 2p - 1 es primo (y por lo tanto 2p-1(2p - 1) es un número perfecto) para
p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257
y para ningún otro valor de p superior a 257. Pero Mersenne no podía haber comprobado estos resultados y lo admite diciendo:
... para decir que un número dado de 15 o 20 dígitos es primo, o no, haría falta todo el tiempo del mundo.
El hecho importante es que Mersenne lo habría hecho bastante bien si esto hubiera sido algo más que adivinación. Hay 47 primos p mayores de 19 y menores que 258 para los cuales 2p - 1 podría haber sido primo o compuesto. Mersenne consiguió 42 correctos y cometió 5 errores. Una sugerencia similar a la regla que utilizó para obtener su lista está en [9].
Los números primos de la forma 2p- 1 se llaman primos de Mersenne.
El siguiente en hacer una importante contribución a la pregunta de los números perfectos fue Euler. En 1732 demostró que el octavo número perfecto era 230(231 - 1) = 2305843008139952128. Fue el primer nuevo número perfecto descubierto en 125 años. En 1738 Euler resolvió la última de las afirmaciones de Cataldi cuando demostró que 229 - 1 no era primo (por lo tanto las adivinaciones de Cataldi no habían sido muy acertadas). Ahora deberíamos apreciar (era el momento) que Mersenne había acertado en ambas cuentas, ya que p = 31 aparece en su lista pero p = 29 no.
En dos manuscritos que no se publicaron durante su vida, Euler demostró el inverso del resultado deEuclides demostrando que cada número perfecto par tenía que ser de la forma 2p-1(2p - 1). Esto verifica la cuarta aserción de Nicómaco al menos en el caso de los números pares. También lleva a una sencilla prueba de que todos los números perfectos pares terminan tanto en 6 como en 8 (pero no de forma alternativa). Euler también intentó avanzar en el problema de la existencia de los números perfectos impares. Fue capaz de demostrar la aserción hecha por Descartes en su carta a Mersenne en 1638 que hemos citado anteriormente. Fue un poco más allá y demostró que cualquier número perfecto impar tenía que tener la forma
(4n+1)4k+1 b2
Donde 4n+1 es primo. Asimismo, junto con los otros cuyas contribuciones hemos examinado, Euler hizo predicciones sobre los números perfectos que resultaron equivocadas. Afirmó que 2p-1(2p - 1) era perfecto para p = 41 y p = 47 pero Euler encontró su propio error y lo corrigió en 1753.
La búsqueda de los números perfectos se había convertido en un intento de comprobar si Mersenne tenía razón en sus afirmaciones en Cogitata physica mathematica. De hecho los resultados de Euler habían hecho creer a mucha gente que Mersenne tenía un método secreto que le habría dado la respuesta correcta. De hecho el número perfecto de Euler 230(231 - 1) permaneció como el mayor conocido durante 150 años. Matemáticos como Peter Barlow escribieron en su libro Theory of Numbers publicado en 1811, que el número perfecto 230(231 - 1):
... es el mayor que se podrá descubrir: ya que son simplemente curiosidades sin ninguna utilidad y nadie intentará encontrar uno superior.
¡Lo que se convirtió por supuesto en una de las aserciones más falsas sobre los números perfectos!
El primer error de la lista de Mersenne fue descubierto en 1876 por Lucas. Demostró que 267 - 1 no es primo aunque sus métodos no le permitieron encontrar ningún factor. Lucas también fue capaz de verificar que uno de los números de la lista de Mersenne era correcto cuando demostraba que 2127 - 1 es un primo de Mersenne y por lo tanto 2126(2127- 1) es realmente un número perfecto. Lucas hizo otro importante descubrimiento que, modificado por Lehmer en 1930, resultó la base de las búsquedas informatizadas actuales para encontrar los números primos de Mersenne y por lo tanto para encontrar números perfectos. Siguiendo el anuncio de Lucas de que p = 127 daba el primo de Mersenne 2p - 1, Catalan conjeturó que, sim = 2p - 1 es primo entonces 2m - 1 es también primo. Esta secuencia de Catalan es 2p - 1 en la que
p = 3, 7, 127, 170141183460469231731687303715884105727, ...
Por supuesto si esta conjetura fuera cierta resolvería la todavía abierta pregunta de si existe un número infinito de números primos de Mersenne (y también resolvería la pregunta de si existen infinitos números perfectos). Sin embargo la comprobación de si el cuarto término de esta secuencia, 2p - 1 para p = 170141183460469231731687303715884105727, es primo está mucho más allá de lo que es posible.
En 1883 Pervusin demostró que 260(261- 1) es un número perfecto. Esto fue demostrado independientemente tres años más tarde por Seelhoff. Muchos matemáticos saltaron para defender a Mersenne diciendo que el número 67 de su lista era un error de imprenta y en realidad era un 61.
En 1903 Cole consiguió factorizar 267 - 1, el número que Lucas demostró que era compuesto, pero para el que en ese momento se desconocían los factores. En octubre de 1903 Cole presentó un artículo,Factorización de números grandes, en una reunión de la Sociedad Matemática Americana. En una de las 'charlas' más extrañas pronunciada alguna vez, Cole escribió en la pizarra
267 - 1 = 147573952589676412927.
Después escribió 761838257287 y debajo 193707721. Sin decir una sola palabra multiplicó los dos números entre sí para obtener 147573952589676412927 y se sentó para aplaudir desde el auditorio. [Hay que remarcar que el ordenador en el que el autor (E. F. Robertson) escribe este artículo proporcionó la factorización de 267 - 1 en un segundo - ¡cómo cambian los tiempos!]
Más tarde se encontraron otros errores cometidos por Mersenne. En 1911 Powers demostró que 288 (289 - 1) era un número perfecto, y unos años después demostró que 2101- 1 es primo y por lo tanto 2100(2101- 1) es un número perfecto. En 1922 Kraitchik demostró que Mersenne se equivocaba al afirmar su mayor número primo de 257 cuando demostró que 2257- 1 no es primo.
Hemos seguido el progreso de la búsqueda de los números perfectos pares pero también ha habido intentos para demostrar que un número perfecto impar no podría existir. El mayor impulso al progreso fue demostrar el número mínimo de diferentes factores primos que debe tener un número perfecto impar. Sylvester trabajó en este problema y escribió (ver [20]):
... la existencia de [un número perfecto impar] - es fantasía, o sería lo mismo decir que desde el complejo entramado de condiciones que le rodean por todos los lados -parece más un milagro.
De hecho Sylvester demostró en 1888 que cualquier número perfecto impar debería tener al menos 4 factores primos distintos. En el mismo año mejoró sus resultados a cinco factores y, con el paso del tiempo, hemos llegado a saber que un número perfecto impar debería tener al menos 8 factores primos distintos, y al menos 29 factores primos que no tienen porque ser necesariamente distintos. También sabemos que tal número tendría más de 300 dígitos y un divisor primo mayor que 106. El problema de si existe tal número perfecto permanece sin resolver.
Hoy conocemos 39 números perfectos, 288(289- 1) y el último que se descubrió 'a mano' fue en 1911 (aunque este no fue el mayor descubierto de esa forma), el resto se han encontrado gracias a los ordenadores. De hecho, los ordenadores han reavivado el interés en el descubrimiento de los primos de Mersenne, y por supuesto de los números perfectos. Por el momento, el mayor primo de Mersenne conocido es 213466917 - 1 (el mayor número primo conocido) y su correspondiente número perfecto es 213466916(213466917 - 1). Fue descubierto en diciembre de 2001 y éste, el número primo trigesimonoveno, contiene más de 4 millones de dígitos. Si te preguntas el motivo de que no lo incluyamos de forma decimal es porque contiene alrededor de 150 veces más caracteres que todo este artículo. Y hay que destacar que aunque sea el trigesimonoveno en ser descubierto puede que no ocupe esa posición en la lista de números perfectos porque no todos los casos más pequeños han sido todavía excluidos del cálculo.
Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive
domingo, 1 de abril de 2012
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